Первые публикации по обратным и некорректным задачам появились в первой половине двадцатого века. Они были связаны с исследованиями физиков, геофизиков, астрономов. Это направление непрестанно развивалось. А с появлением мощных ЭВМ область приложений обратных и некорректных задач охватила практически все научные дисциплины, в которых используются математические методы. Наш собеседник - зам. Директора Института вычислительной математики и математической геофизики (ИВМиМГ) СО РАН, чл-корр. РАН профессор Сергей Кабанихин рассказывает о том, как обстоят дела в данном направлении сегодня.
- Сергей Игоревич, расскажите для начала – что такое обратные и некорректные задачи?
- Общего определения обратных задач нет, поскольку их количество и разнообразие постоянно возрастает. В прямых задачах математической физики, исследователи стремятся найти функции, описывающие различные физические явления, например, распространение звука, тепла, сейсмических колебаний, электромагнитных волн и так далее. При этом свойства среды (коэффициенты уравнения), а также начальное состояние процесса или его свойства на границе (в случае ограниченной области) предполагаются известными. Однако на практике именно свойства среды - плотность, электро- и теплопроводность и т.п. - исследователю не известны. Приходится их устанавливать, как и свойства процессов в этой среде протекающих. Это и есть обратные задачи. Они, как правило, некорректны (то есть, в этих задачах нет либо единственности, либо устойчивости решения по отношению к малым вариациям данных задачи). Также очень часто в обратных задачах требуется найти местоположение, форму и структуру включений, дефектов, источников (тепла, колебаний, напряжения, загрязнения) и так далее.
Не вдаваясь во все детали математических определений, отмечу, что обратные и некорректные задачи объединяет одно важное свойство – неустойчивость решения по отношению малым ошибкам измерений данных. В большинстве интересных случаев, обратные задачи являются некорректными и, наоборот, некорректную задачу, как правило, можно свести к обратной по отношению к некоторой прямой (корректной) задаче.
- И как часто на практике приходится сталкиваться с подобными задачами?
- Каждый человек ежеминутно решает обратные и некорректные задачи. И решает их, как правило, быстро и эффективно (если, конечно, находится в добром здравии и ясном сознании). Возьмем, например, зрительное восприятие. Установлено, что за минуту мы фиксируем лишь конечное число точек окружающего мира. А как же тогда мы видим все? Мозг (в этой ситуации – мощный персональный компьютер) по увиденным точкам восполняет (интерполирует и экстраполирует) все, что глаз не успел зафиксировать. Ясно, что восполнить истинную картину (в общем случае – объемную и цветную) по нескольким точкам можно лишь в случае, когда она уже более-менее знакома (большинство предметов и образов мы уже видели, а иногда и касались руками). То есть, несмотря на сильную некорректность (неединственность и неустойчивость решения) задачи (восстановить по нескольким точкам наблюдаемый объект и все, что его окружает) мозг решает эту задачу довольно быстро.
В сущности, любая попытка расширить границы непосредственного (чувственного, зрительного, слухового и т.п.) восприятия окружающего мира приводит к некорректным задачам.
- То есть, человечество решает такие задачи на всем протяжении своего существования?
- В общем-то да, просто долгое время математики, решая подобные задачи, обходились без употребления терминов «обратная» или «некорректная». Часто идеи для их постановки и решения поступали из естественных наук и даже – философии.
Тезис Платона о том, что нам в процессе познания доступны только тени на стене пещеры и эхо (данные обратной задачи) явилась предвестником постановки и решения Аристотелем задачи восстановления формы Земли по ее тени на Луне (проективная геометрия). А физическое понятие мгновенной скорости явилось одним из оснований открытия И.Ньютоном производной.
А численное дифференцирование экспериментальных данных и по сей день является сложной задачей в силу ее неустойчивости. В двадцатом веке уже сами математики перешли к постановкам обратных и некорректных задач. Тезис о том, что некорректных задач нет, а есть плохо поставленные, одних исследователей охлаждал, а других побуждал искать новые постановки и методы регуляризации обратных и некорректных задач.
- Какую роль в этом поиске играла отечественная наука?
- Можно уверенно говорить, что советские математики были одними из мировых лидеров в данной области. Приведу лишь несколько примеров. Изучение движения небесных тел привели А.Лежандра и К. Гаусса к некорректным задачам для систем алгебраических уравнений. Это их не остановило, и в результате появился метод наименьших квадратов. О. Коши предложил метод наискорейшего спуска для нахождения минимума функции нескольких переменных. А в 1948 году Л.В. Канторович обобщил, развил и применил эти идеи к операторным уравнениям в гильбертовых пространствах. В настоящее время метод наискорейшего спуска, наряду с методом сопряженных градиентов, являются одними из самых популярных при решении некорретных задач. А основоположниками теории некорректных задач по праву считаются академики А.Н.Тихонов, В.К.Иванов и М.а.Лаврентьев. Кстати, научным консультантом В.К.Иванова по докторской диссертации был академик С.Л.Соболев.
- Многие из перечисленных Вами фамилий имеют прямое отношение к Сибирскому отделению Академии наук. Можно говорить о том, что есть «сибирская школа» в области решения обратных и некорректных задач?
- Новосибирск по праву считается одним из основополагающих мировых центров обратных задач. Здесь начинали свою деятельность исследователи теории, численных методов и применений обратных задач. И эта работа была продолжена их последователями.
Вообще, родоначальником обратных задач в Новосибирске явился Вычислительный центр СО АН СССР (ныне ИВМиМГ СО РАН). В начале шестидесятых годов прошлого века здесь появились публикации по обратным задачам М.М.Лаврентьева и его научной школы, началось становление научной школы А.С.Алексеева по исследованию прямых и обратных задач геофизики.
Все эти направления активно поддерживал основатель ВЦ СО АН СССР Г.И. Марчук, в научной школе которого появились новые направления по применению обратных задач в физике атмосферы и океана, в ядерной физике, в иммунологии и многих других научных направлениях. Хотя в последние десятилетия по известным причинам лидерство российской школы по обратным и некорректным задачам пошатнулось, очень много способных специалистов, в том числе молодых, уехали из страны. И если за рубежом издано уже более 10 тысяч книг, в названии которых есть слова «обратные задачи», то в России такие книги появляются все реже и реже.
- Наше отставание стало критичным?
- Я бы так не сказал. Мы по-прежнему обладаем достаточно мощным потенциалом, к нам приезжает талантливая молодежь. В Новосибирске ежегодно проводится международная молодежная научная школа-конференция по теории и численным методам решения обратных и некорректных задач. За последние пять лет в ней приняло участие более тысячи молодых ученых из всех основных научных организаций России, стран СНГ, а также из Австрии, Англии, Бельгии, Германии, Италии, Казахстана, Киргизии, Китая, Таджикистана, Узбекистана, Франции, Японии. И если у нас будут нормальные условия для работы и развития, то многие из этих молодых ученых будут работать у нас.
- Что Вы понимаете под «нормальными условиями»?
- Что важно для молодого ученого: серьезные задачи, средства для их выполнения и отсутствие необходимости отвлекаться на решение бытовых проблем.
- Раз мы заговорили про уровень серьезности задач, стоящих перед математиками – не могли бы Вы привести несколько примеров важных направлений работы институтов Сибирского отделения, которые сегодня требуют решения подобных задач.
- Достаточно сказать о нашем институте. Мы каждый год проводим международную молодежную школу-конференцию по теории и численным методам решения обратных и некорректных задач и около половины наших сотрудников принимают в них участие. Лекции читают ведущие ученые Б.Г. Михайленко, А.Н. Коновалов, Б.Г. Михайлов, В.В. Пененко, В.П. Пяткин и многие другие, не говоря о ведущих ученых из ИМ, ИНГГ, ИЦиГ, ИТПМ, ИТ, МТЦ и многих других институтов СО РАН. В основном речь идет об исследовании внутреннего строения Земли, задачах томографии, обратных задачах химической кинетики.
Георгий Батухтин
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии